Gutenberg=Richter則

11月17，18の二日間、新潟大学の家富先生に経済物理学入門の講義を聴講。同僚の猿渡先生が、理物（東大理学部物理学科）の同期だということで、お願いして実現したもの。4年生の理学特別講義なのですが、統計物理が必修でないことなどを事前に猿渡先生が連絡していたようで、難しい数式もほとんどなく、娘さんの写真も含め、登場人物の写真が多数使われた目に優しい内容でした。確率の把握の難しさとしてMonty Hall問題から始まり、ブラウン運動、対数正規分布と株価変化、岩石破壊での破片や富の分布、地震エネルギー分布のべき乗則。そして、最後はネットワークの話で、ネットワーク科学の基礎的な解説、可視化、そして最後に企業間の取引ネットワーク構造の研究の話。興味深く、多岐にわたる内容で、学生さんにもよかったと思います。（家富先生、ありがとうございました。）



で、ここからが本題。課題として、地震の頻度分布のデータから、エネルギー分布がべき乗則に従うというGutenberg-Richter則が成り立っていることを示せというものが出されました。図が、ｘ軸をマグニチュードＭ、ｙ軸に地震の頻度（赤印）をプロットしたもの。べき則則でフィットする場合、ある大きさ以上の頻度という累積を使うほうがよいので、それも描（緑印）いています。グラフを見ても、累積にしないと地震規模の大きな端の部分は頻度が小さく、頻度分布のグラフはばらつく。一方、累積のほうは、ある規模以上の地震の数なので、そのばらつきが抑えられる。で、１０のb乗に比例するとして、フィットした結果が直線で描かれています。このフィットで問題になるのが、どこをフィットするのかということ。図ではMが５以上、６以上、７以上でフィットしています。すると、６以上と７以上だとｂの値がほぼ１で大体等しくなっているので、ｂは１と結論するわけです。

経済物理などの本に限らず、物理で社会現象を説明する本によくあるのがこの手のべき乗則の話。べき乗則に従うから、一見複雑に見える現象でもその本質は単純な物理法則で説明できるとか書いてある。じゃ、本当にべき乗則なのですか、と真剣に調べたのがニューマン:SIAM Review 51, 661-703 (2009)。例えば、上であげた富、地震の規模のほかに戦争の規模、インターネットの接続数、言葉の出現頻度など、ありとあらゆるデータに対し、べき乗則だとしたときのｐ値や、指数分布や対数正規分布などとどっちがよくデータに合うのかという比較を行ったものです。


すると、ほとんどのデータは「べき乗則とはいえない」という結論になる。上記の論文のp27にｐ値の表があって、それを見ると「地震は０」「富も０」。こんなプアなフィット（図の直線のフィット結果）が実現することはないから、べき乗則ではない。唯一、言葉の出現頻度はべき乗則で、地震や富はカットオフのあるべき乗則（つまり、あまり大きなところはべき乗則ではない）が妥当。他の多くのデータも、べき乗則に従っているといってもしいし、他の分布に従っているといってもいい微妙なものである、と。

In particular, the distributions for the HTTP connections, earthquakes, web links, fires, wealth, web hits, and the metabolic network cannot plausibly be considered to follow a power law; the probability of getting by chance a fit as poor as the one observed is very small in each of these cases and one would have to be unreasonably optimistic to see power-law behavior in any of these data sets.(p.23)

There is only one case -- the distribution of the frequencies of occurrence of words in English text -- in which the power law appears to be truly convincing, in the sense that it is an excellent fit to the data and none of the alternatives carries any weight.(p.26)

べき乗則に従うと厳密に主張できる系はほとんどない。一方、べき乗則に従うモデルはいくらでも作れる。こういう状況でべき乗則をもとに説得力のある議論ができるとは思えない、とＨ氏ならいいそうです。