オレルの博士論文２

前回の「オレルの博士論文」の続き。今回は彼の主要な結果を数式で簡潔に解説。彼の博士論文は、ターゲットとする系の時間変化とモデルの時間変化の違い（誤差）のうち、どの部分がモデル誤差で、どの部分か初期値誤差なのかを明らかにすること。また、系の時間変化を追跡できる時間はいくらなにかを明らかにすることにあります。問題は、初期値誤差とモデル誤差は、しばらくすると混ぜ合わさってしまうこと。ｔ＝０の初期状態に誤差がなくても、モデル誤差があると、すぐにモデルと系の時間変化は異なる軌道を描き、誤差が生まれる。すると、その時点以降はモデル誤差がなくても、誤差が系のカオス性により指数関数的に大きくなる。つまり、モデル誤差が初期値誤差になり、それが急速に大きくなって、誤差の大きな部分を占めるようになり、どこまでがモデル誤差で、どこまでは初期値誤差なのか、区別が難しくなる。

この困難に対するオレルの処方箋は単純です。系の軌道上でモデルがどのような時間変化を生むのかと、系の時間変化の差がモデル誤差（ドリフト）である。左上の図のx(t)がモデルの時間変化を記述し、そのダイナミックスはX(x)で与えられるとする。また、系の「真」の軌道をy(t)で記述し、ダイナミックスはY(y)とする。y(t)の観測には一般に誤差があり、またYを人間が完全に知ることはない。すると、xとyの差が誤差eを定義しますが、モデルの軌道が系の軌道の十分近くにある場合、4つ目の近似式で評価できる。最初の項は、初期値誤差e(0)の増幅の様子を線形演算子Mで計算し、2番目の項は、モデル誤差を表す項で「ドリフト」と呼ぶ。このドリフト項は、観測された系の軌道上ｙでモデルの力X(y)を積分したものでり、系の「真」の軌道上で積分しているので初期値誤差の一切入らない正味のモデル誤差となっている。このドリフトの大きさをd(t)と書くことにする。

では、d(t)とe(t)の大きさはどれぐらいなのか？それを示したのが次の図です。このグラフは、ヨーロッパの実際の天気と天気予報の誤差e(t)と上の式で計算したドリフトd(t)を描いたものです。最初の72時間までは、誤差e(t)のほとんどはドリフト（モデル誤差）d(t)であることが分かります。また、誤差やドリフトが予報時間ｔの平方根に比例して増加している様子も分かります。一方、図の下部にはドリフトによる初期値誤差がどう大きくなるのかを示しています。6時間ごとのドリフトを初期値誤差として線形演算子Mで時間変化させたのが点線。そして、各々の点線をドリフトに加算する。多次元空間なので、直交すると仮定。すると、72時間以降の誤差とドリフトの差も説明できる。


ドリフトd(t)の計算式として、短時間でのドリフトの大きさｄｍとドリフトベクトル間の角度のデータcmを用いて左上の図の最後の式を導いている。これは、ドリフトがブラウン運動していることを意味しています。相関がまったくないわけではないですが、誤差はブラウン運動し、その結果d(t)はｔの平方根に比例して大きくなるというわけです。

オレルのもうひとつの結果は、モデルが系をどれぐらいの時間追跡できるのかに関するものです。系の軌道のまわり半径ｒのチューブの中にモデルの軌道が存在する時間は、d(t)=2rで近似的に与えられるというもので、直感的にも分かりやすい。このｒとして天気の観測誤差を用いると、気象台が使っているモデル（TL319)が天気を追跡できる時間は約4時間と推定できる。

私が一番興味を持ったのは、モデル誤差がブラウン運動するという部分です。もちろん、ブラウン運動した誤差が、のちのち指数関数的に増幅されるのですが、それでも最初の3日間はブラウン運動しているように見える。モデルをもっとよくすればドリフトが減少して初期値誤差が減るので、ブラウン運動する時間も長くなる。実際、TL159という系をTL42、TL63（番号はモデルの微細さに関係）でモデル化したとき、微細なほうが誤差も小さくがｔの平方根で振舞う時間も長い。ということはブラウン運動する時間の長さがモデルの評価にも使える。

このドリフトがブラウン運動するというのが非線形力学系の一般的な性質なのか、それとも天気予報のモデルに限られたことなのかも興味深いです。私は今まで、天気のようなカオス系を別の単純なカオス系でモデル化しても、その誤差は指数関数的に大きくなり、未来を予言できるはずはないと思っていたのですが。どうもそんなナイーブな話ではなく、結構奥の深い問題だということが分かり、非常に楽しめた論文でした。モデルを微細にすればするほど、誤差がブラウン運動する時間がいくらでも長くなるのか。数値計算ですこし調べたくなりました。

2番目、3番目の図はModelling error in weather forecasting, D.Orrel et al(2001) より。