Minority GameとCrowd-Anticrowd モデル I

今年の卒研のテーマのひとつとしてMinority Game(少数決ゲーム)を採用し、春頃から実験用サーバープログラムの開発と物理学科3年の選択科目「データ解析」の演習時間を用いた予備実験、そして北里祭での一般参加者による実験を行いました。その目的はタイトルにある、協力の創発がCrowd-anticrowdという仕組みで起きるのかを検証することでした。

Minotiry Game（少数決ゲーム）とは、2択の選択を複数の参加者で同時に行ってもらい、少数派の選択を選んだ参加者を勝ちとするものです。このゲームを同じメンバーで、毎回、過去の少数派の選択肢を周知するという情報だけをあたえて繰り返す。非常にシンプルなゲームであり、もともとはB.W. Arthurという経済学者がEl Farol Bar問題(1990)として定式化したものに由来します。人口100人の町にキャパシティー60人のEl Farolというバーがあり、人は今晩バーにいくかど家にいるかを決めるとする。バーにいって、バーの前にいる人数が60人以下ならバーにいって正解。61人を越えるなら家にいて正解。では、100人のうち60名がバーに、40名が家にという選択を実現するのはどうすればいいのか？これがEl Farol Bar問題。

経済学では人は他人の行動を含むあらゆる情報知り、すべての人が全知全能の存在として合理的に意思決定すると考える。しかし、Arthurは、人は限定合理的な存在であり、その限定合理性を「人は過去のパターンから予測し行動するものである」とモデル化しました。すると、簡単に60人がバーの前に現れるようになります。過去のバーの前の人数のパターン（昨日が48人、一昨日が72人など）に対し、今日の人数を予測するとします。その人数は0から100まで101パターンあります。100人の町の人の予想はその101パターンに「一様に分布する」ので、60人以下と予想する人は100人のうちの61/101の約60人となる。こうして均衡状態として約60人がバーの前に現れる状態が実現します。

これでEl Farol Bar問題は解決したように見えますが、そうではありません。実は、上記の解は無駄が非常に大きい。なぜなら、ある人がバーにいくかどうかは、その人の予測人数が60人以下の場合であり、確率は約60%。 人々は独立に予想するので、バーの前に現れる人数は100人が確率60%で独立にバーに現れる時の人数に等しく、期待値は60人ですが、ゆらぎは大体5名となります。つまり、毎回55名から65名がバーに現れ、5名分のキャパシティーが余ったり、バーのキャパシティーを越えたりする。つまり、60名ぴったりがバーに現れ、40名が家にいる状態には程遠いわけです。このように、バーの前に現れる人数の期待値が60名であることだけでは不十分で、ゆらぎを最小（可能ならゼロ）にすることが必要です？

そこで、こうした「ゆらぎ」まで含めてEl Farol Bar問題を考えるために導入されたのがMinority gameでした(D. Challet and Y.C. Zhang(1997))。そこでは、N人の参加者は0か1の二択を選び、選択者数が少ない選択肢を選んだら勝ちとする。また、参加者には過去M回のゲームでの少数派の選択肢の情報を与える。問題は、参加者が過去のパターンから有利なパターンを導き出しそれを利用し、参加者の中で少数派に属する人数を最大化（参加者が101人なら50人がベスト）し、ゆらぎを押さえられるかどうか、という点です。

D.Challet and Y.C.Zhan(1997)では、過去M回の少数派のパターンから次の少数派の選択肢を予想する予測モデルを各エージェントに複数持たせ、エージェントは自分の予想モデルのうち、もっとも勝数の多いものを用いるとします。この論文 以降、Minority gameの研究は爆発的に流行しました。2002年までの5年ほどの間に百以上がMinotiry gameを扱い、その結論は、エージェント数Nの集団に過去M回の少数派の選択肢の情報を与えたとき、Mが小さい場合は少数派の人数のゆらぎが大きく協力は起きない。けれど、Mを増やして２のM乗がNに近づくと、協力が起きてゆらぎが減少する。しかし、さらにMを増やすとゆらぎは増加に転じ、Mが十分大きなところではゆらぎの大きさはゲーム参加者がランダムに選んだ場合に一致するこというものでした。

左の図はN＝9において、Mを増やしたときの多数派と少数派の選択者数の差の分散（ゆらぎの自乗）をNで割ったものをプロットしたものです。分散はエージェントがランダムに選択した場合Nとなり、Nで割ると1（緑の点線）になって都合がよいので、ゆらぎの大きさの目安として分散/Nを用います。図でM＝1の場合、これは前回の少数派をエージェントに示した場合に対応しますが、その場合は1に近い。Mを2,3と増やしていくと分散は減少し、M=3では約0.3になっています。さらにMを増やすと分散は増加に転じ、Mが十分大きいところでは0.9程度になっています。 この結果でおもしろいのは、Mを増やすと、M＝3まではエージェント間で協力が起こり、ゆらぎを抑える方向に改善しますが、あるしきい値を越えると協力が弱まり、状況が悪くなることです。

では、このゆらぎの非単調な振る舞いはどう理解すればよいのか。 Minority Gameでは、エージェントは予測モデルを持っています。可能な予測モデルの数は、過去M回の0，1の2のM乗個のパターンから0，1を出力する関数なので、2の2のM乗個であることが分かります。しかし、独立な予測モデルはそのうち2のM乗個のみであることは、予測モデル間の距離をハールメジャーで定義することで示すことができます。一方、エージェントの数はN。すると、2のM乗がNよりずっと小さい場合、似た予測モデルを持つエージェントが存在し、逆に2のM乗がNよりずっと大きい場合、N人のエージェントはお互いに異なる予測モデルを持つことになります。

後者の場合、N人のエージェントはお互いに独立に予測をするので、ランダムに選択するのと同じです。つまり、Nが2のM乗よりずっと小さい場合、分散/Nは1になります。この状態をUnder-crowded 相、ランダム相と呼びます。一方、Nが2のM乗よりずっと大きい場合、同じ予測モデルを持つエージェントが多数存在し、同じパターンには同じ予測モデルを用いるので多数のエージェントが同じ予測をしてしまいます。エージェントは極力他のエージェントと異なる予測を行って少数派になろうとするのですが、予測モデルがお互いに似すぎているため、それが不可能であり、多数派になることを避けられないのです（Crowd効果）。このとき、N人のエージェントの多数が一方の選択肢に集中し、もう一方の選択肢を選ぶエージェントがほとんどいないため、分散はNの自乗に比例した状態となります。この状態のことを　Crowded 相と呼びます。

さらに、分散のM依存性は、2のM乗をNで割ったαというパラメータだけで決まります（左図参照）。Nが2のM乗よりずっと大きい場合、αは0に近く、Crowded相。分散/NはNに比例します。逆にαが大きい場合、Under-crowded相でエージェントはランダムに選択し、分散/Nは１になります。そして、この二つの相の間の変化は相転移であり、それが分散のα依存性の非解析性に反映しています。

こうして、予測モデルの空間の大きさとエージェント数Nの比αでMinotiry Gameの分散を理解することができます。では、Crowd-anticrowdモデルとはなにを説明するのか？また、人での実験結果はどうだったのか？それは次に。

基礎からのMySQL

2010年ごろから社会物理の実験をするようになり、最初はface-to-faceで人力で実験、2011年はeRubyでWEBプログラミングによりサーバーを構築してブラウザ経由で実験、そして2012年からはPHPでのWEBプログラミングへの変更と、毎年開発スタイルが変化してきました。サーバープログラムの開発ではCSVファイルでデータを読み書きしながら実験データを蓄積する手法でやっていたのですが、どう見てもスマートではない。たしかに、エラーが起こったときにファイルをすぐに開けば状況は把握しやすいのですが、そもそもエラーが起こることを前提としているのも問題。そこで、MySQLというデータベースへの移行を画策したのが昨年から。

2012年末に行った、「分割選択の実験」では、CSVファイルの読み書きによる古いシステムとMySQLによる新システムの二つのシステムを開発し、可能なら新システムを使う予定でした。研究協力者の日野君による開発は間に合ったようですが、テスト時間がとれず新システムの使用は断念し、古いシステムで実験は実施。しかし、今年からはすべてMySQLを用いたシステムに全面移行する予定です。

そこで、私もMySQLを勉強してみようと考え、読んでみたのがこの「基礎からのMySQL」（西沢）。
基礎からとタイトル通り、データベースをインストールから解説し、複数のスレッドを持った掲示板を作成するところまで解説してあります。わかりやすく、プログラムの解説も丁寧で、私にも理解することができました。PHPをしばらくさわっていなかったので、PHPの復習にもなり、HTMLの最低限の解説もあり、必要な知識はすべて書いてあります。この本一冊でPHPを学ぶとか、HTMLを学ぶのは無理かもしれませんが、データベースを全く知らないけれど、PHPやHTML、Apacheをすこしはかじったことがあるレベルの人なら、データベースを理解し、WEBプログラムとデータベースをどうつなげるのか、理解できると思います。

この本で得た知識をもとに、さっそく競馬データベースをいろいろいじってみようと思います。
非常にいい本です。おすすめです。

物性物理学

3年後期の電子物性論で来年度のテキストに指定しました。これまでは、岡崎先生のテキスト「固体物理学―工学のために」を使っていたのですが、いろいろ不満な点があり、いい本はないかと考えていたときに、簡単でちゃんと書いてある本として学生さんに教えてもらったものです。学生時代に塚田先生に直接習ったことはありませんが、どういう本を書かれるのかという興味もありました。

さまざまな格子でのバンドの計算が簡単なモデルをつかってしっかり書かれているのと、超伝導のBCS理論が、その真空の構造までキッチリ書かれている点がこの本の特色です。特に、後者のBCS理論の説明は、多くの本がギャップができる点を述べてお茶をにごして終わりみたいな点があるのですが、このテキストではいままで知らなかった点も書かれていて勉強になりました。（そのレベルで講義を担当するのはどうか、と自分でも思いますが。）

アマゾンで調べてみると、 黒沢先生の「物性論」を薦めるヒトが多いみたいなので、来年度の講義は、黒沢先生のも参考に超簡単な電子物性論の講義を行いたいと思います。

あけましておめでとうございます

本日1月5日（土）から始動。といっても元旦からプログラムを作っていたりで、単に仕事場が研究室か自宅かの違いでしかありません。しかし、家だと娘が元気で落ち着かないので、研究室はその点いいものです。（左の写真は、昨年のゴールデンウィークで訪れた高尾山から富士山を撮影したもの。）





 今年の目標は3つ。

 1：情報カスケードに関する社会物理実験をまとめ、競馬の経済物理に決着をつける。特に、没になっている論文をこれまでの実験結果をふまえてオッズの時系列データを解析し直しオッズの形成過程を理解したい。予測市場の研究とも絡めて、集団での情報の集約過程を自分なりに理解する。

2：競馬予想で人知に勝つ。 来年度の卒研生がプレ卒研の段階で6名存在し、そのうち5名が競馬予想に興味があるらしい（一人はニューラルネットのアルゴリズム）。それはそれでいいのですが、単にファアクターを増やす、馬のスコアの関数形を2次まで拡張、ニューラルネットの逆誤差伝搬を用いる、などという路線でどこまで競馬のオッズの予想精度迫れるか、も今年で終わりにしようと考えています。どこまで頑張ってもオッズに勝てないなら、その精度の差に「集団知」はあるのでしょう。そんなものはないことを示したい。

１、２の目鼻がついたら、競馬の物理で本にまとめたいと思います。読者をどこに設定するのか難しいですが。社会物理学なのか競馬予想なのか、 専門家向けなのか、一般向けなのか。

3：入江君と日野君に論文を書かせる。今年修士2年になる入江君、昨年後半から博士が欲しいと実験のサポートに入ってくれた昔の卒研生の日野君。私は修士論文とか博士論文はどうでもいいのですが、せっかくいっしょに研究をしているので、それぞれの主著者の論文を完成させたいと思います。（しかし、二人の英作文の能力は？頭が痛い。）

ということで、これまでと同じくジタバタする一年になりそうです。今年もよろしくお願いします。

ヒトはオッズにどう反応するか？

実験論文IIが完成し、昨日からオンラインで読めるようになりました。

タイトルは、 

Collective Adoption of Max-Min Strategy in an Information Cascade Voting Experiment　

ヒトが他人の回答をカンニングしながら２択のクイズに答える実験です。実験論文Iでは、この系で相転移が起こることを示しました。クイズの正解を知らないヒト（多数派に群れるヒトという意味でハーダーと呼んでいます）の比率が90%以下なら、十分多くのヒトが回答すれば多数派が正解になる。けれど、ハーダーの比率が90%を越えると、十分多くのヒトが回答しても必ずしも正解にならない。多数派が間違える確率は40%になり、ランダムに回答するのと大差ないことになる。こうした相転移が存在することを実験データと理論モデルで示し、情報カスケード相転移と名付けたものでした。

つまり、２択のクイズを十分多数の集団にカンニングさせながら回答させると、そのクイズが10人に1人以下しか正解を知らない問題であるなら、100回に40回は多数派の選択は間違っているけれど、10人中2人以上が正解を知っているなら、多数派の選択は正しい。そして、こうした水が氷になるような質的な変化は、十分多数のヒトの極限（専門用語では熱力学極限）で相転移となり、水が氷になる変化と同列に語ることができる。

この「カンニング」で被験者に与えた情報は、２択の各選択肢を選択したヒトの数。相転移が起こる理由は、その数に対するハーダーの反応が鋭いから。左図はその実験データを示したものです。横軸が選択肢Aを選んだヒトの比率、縦軸にはその情報をカンニングしてハーダーがAを選ぶ確率を描いたものです。図はAを選んだヒトの比率50%を原点とした原点対称になるので、50％以上をプロットしています。

10人中5人がAを選んだ場合(n1/t=0.5)、ハーダーが選ぶ確率はA、B共に同じで50%。しかし、10人中6人がAを選ぶと、Aを選ぶ確率は70%まで上がる。さらにAを選ぶヒトの数が増えるとAを選ぶ確率は上昇するのですが、重要なのは10人中5人から10人中6人での選択の確率の変化。この変化が鋭く、青の点線で示した対角線よりも上にある時、系は相転移を起こします。この変化が鈍く、ニュートラルの50%から10人中6人で60%以下にしかならず、対角線よりも下にくると相転移は起きません。 このような確率の急激な増加は動物界でもよく見られ、Quorum 反応と呼ばれたりするそうです。ヒトの場合、絶対数に対する反応ではなく、あくまで率に対する反応なので、その点がQuorum反応とは異なりますが、起きる現象は非常に似ています。

では、「カンニング」で与える情報を各選択肢を選んだヒトの数ではなく、オッズにするとどうなるでしょう。ここでオッズは各選択肢を選んだヒトの数の逆数に比例し、競馬のオッズと同じく、正解を選んだことに対するリターンはオッズに比例するとします。例えば、10人のうち、Aを9人、Bを1人選んだ状況では、Aのオッズは自分の選択を含めた11をAを選んだ9人＋自分1人の10人で割って1.1倍。Bのオッズは11をBを選んだ1人＋自分の2人で割って5.5とします。このとき、ヒトはどのように選択し、その結果、十分多数のヒトが回答すると何が起きるのか？それが今回の論文で扱った問題です。

正解を選んだことに対するリターンがオッズに無関係の場合、選択者数を与えた場合と同じことになります。オッズが小さい＝選択者数が多い、オッズが大きい＝選択者数が少ない、なので、オッズの小さな選択肢にハーダー（正解を知らないヒト）の選択が集中するでしょう。しかし、今回の実験ではオッズが小さい選択肢はそれを選んで正解してもリターンが小さく魅力にかけます。一方、オッズが大きな選択肢は、人気のない選択肢なので間違っている確率が高いでしょうが、それを選んで正解すればリターンは大きく魅力的です。もちろん、正解を知っているヒトには選択の余地はありません。オッズが小さくリターンが小さくても、それを選ぶしかない。では、ハーダーはどうするのか？どうするのが正しいのか？

ゲーム論的には、この状況はゼロサムゲームになり、Max-Min戦略をとるのが最適であることが知られています。そのMax-Min戦略とは、共同研究者の久門さんによると「選択肢を選ぶ比率をオッズに逆比例させ、比率×オッズが選択肢A、Bで同じになるようにしなさい」というものです。そうすれば、A、Bが正しい確率がどうであっても、その不確定性を消すことが可能である。このように、オッズに逆比例する比率は、オッズが選択者数に逆比例したので、選択者数に比例する比率と同じことが分かります。つまり、10人中6人がA、4人がBを選んでいる場合、60%の比率でA、40%の比率でBを選ぶのがゲーム論的に正しいということです。もし、ハーダーがこのように選択をするなら、上記の相転移は起こらず、どんなに難しい問題であっても、十分多数のヒトが回答すれば、多数派の選択肢が正しいことが分かります。

では、実際にはどうなのでしょう。左図が実験結果です。選択者数を与えたときの上図の振る舞いとは異なり、ほぼ対角線に乗っていることが分かります。これはゲーム論での最適戦略を被験者集団が採用していることを意味します。ただし、Aを選ぶヒトの比率が3/4を越えると、Aを選ぶ確率は3/4のままで増加しません。これは、オッズが小さくなりすぎ、Aの魅力が低下したため、オッズの大きなBを選択する傾向が増したためと考えられます。もちろん、この傾向は最適な振る舞いではないのですが、競馬でも万馬券狙いのバイアス(Favorite-logshot bias)があることが知られていて、それと同じことが起きているのでしょう。もっとも、クイズの場合、万馬券（倍率100倍）とは程遠く、たかだか4倍程度の倍率のオッズでヒトが欲に目が眩んでいるのですが。

 また、10人中7人程度のところで、対角線を微妙に越えていることも分かります。この結果は、オッズを与えた場合でも相転移することを意味します。ただし、相転移が起こるハーダーの比率は非常に高く、シミュレーションでは99%。この結果は、100人中1人しか正解を知らない問題なら、相転移し、多数派が間違うこともあるけれど、10人中1人の状況なら、そうした事は起きないことを意味します。

以上が論文内容。2010年の夏からこうした実験を始め、まるまる2年かけたものです。こうした内容を微妙ととるか、面白いととるかは、ヒトそれぞれ。私自身は十分楽しい（苦しい！）ものでした。

共同研究者の久門さん、高橋先生、および実験を手伝ってくれた北大のニコルさん、中村さん、北里大の入江君と2010年の卒研生のメンバーの神田朋彦ヘンリー君、石澤遼君、熊谷直紀君、辻崇史君（元気にしてますか？）、また実験に参加してくれた北大および北里大のみなさん、ありがとうございました。

追記：11月15日にPhyscal Review Eに投稿したら速攻で雑誌が違うからという理由でリジェクト。前途多難な予感がします。

量子論の基礎

「量子力学を学ぶのにいいテキストは？」ときかれて、私が推薦するのがJ.J.SakuraiのModern Quantum Mechanics。自分が学生のときに最初に読んだ量子力学のテキストであり、その構成に感動したからというのが理由。なぜ、Sakuraiだったのかというと、当時入っていた東大駒場のサークル「自然科学研究会」の先輩が「いい本」だと輪講していて、それに影響されての選択でした。

Sakuraiのすばらしいところは、量子論の「状態」「観測」をまず1個のスピンというもっとも単純な系で展開すること。それによって、ブラ・ケット、内積、エルミート演算子、固有ケット、展開係数、確率を導入し、古典論との違いを際立たせる構成をとっていました。

一方、その他の名著とされるシッフやメシアはシュレーディンガー方程式を解くことに力点をおいていて、はっきり言っておもしろくなかった。

こうした経験からSakuraiの本を推薦してきたのですが、明日の11月8日、9日に東大の清水明先生が「ベルの不等式」に関して講義されるとのことだったので、評判のよい「量子論の基礎」を読んでみました。

結論から言えば、おもしろい本です。Sakuraiのテキストを彷彿とさせる簡潔・明晰なテキストで、量子論での状態、観測量、確率解釈、時間発展、理想測定の５つの要請をもとに展開します。特におもしろかったのが理想測定というもので、Sakuraiでは登場しなかった概念。また、不確定性原理に関しても、ハイゼンベルグのもの（測定誤差と測定による撹乱による誤差）、非可換な演算子の別個の観測によるもの、同時の観測によるもの、を分けて（結果だけですが）解説している点もすばらしい点です。

また、異なる場所での観測の間の相関に関する 不等式（ベルの不等式）は、局所実在論の系では必ず成立するが、量子論ではそれが破れることを予言し、実験でも検証されているので、量子論は局所実在論を越えた理論である点がその本質なのだとあります。

という感じで、すばらしい本なのですが、不満点をいくつか。まず、理想測定をどう実現するのかが分からないので、要請５を置く意味がよく分からない。量子力学を勉強していて一番難解なのが「観測とは何か？」であり、特に「いつ観測されたと考えるのか」がいまだに私には分かりません。例えば、スピンの観測では非一様磁場によるシュテルン・ゲルラッハのが有名ですが、磁場が弱い場合、磁場の素のフォトンとスピンが相互作用せず、観測されたことにはならないはず。では、どこから「観測は始まるのか？」とか。こういうのは、私の量子光学やレーザー物理に対する理解不足からくるものではあるのですが、そうした点を含め「量子測定理論」のエッセンスが欲しかった。

 また、これはテキストに対する不満ではないのですが、ベルの不等式は確かに局所実在論を明晰に否定したことは事実ですが、内容は干渉効果なので、ダブルスリットによる電子の干渉と内容的にはパラレル。二つのスリットのどちらかを通るという局所実在論を干渉縞が否定するのと物理的には同じなのでは、と。もちろん、ダブルスリットだけなら、局所実在論を保ちながら干渉縞を説明する理論はできる？ので、そうした曖昧さを完璧に排除する点で「ベルの不等式の破れ」はすごいことは理解できるのですが。

とにかく明日、明後日の講義が楽しみです。

追記：高校から大学に入ったころは、Sakuraiやフランコ・セレリの「量子力学論争」などを読んで、量子力学を究めるつもりだったのが、いまではヒトを使った集団社会実験とそのモデル化や競馬の研究をやっている。いったいどこで間違ったのか、と考えていくと、素粒子論の勉強で数学にハマったのが元凶。もういちど量子をやるか、それともヒトの意思決定の闇に切り込むか、迷うところです。ヒトの意思決定にも量子論が使われていて、眉つばだとは思うのですが、観測に対する撹乱などを考えていくと、量子論の枠組みは有効なのかもしれません。ヒトの意思決定は局所実在論ではとらえきれるとは思えないし。そこを明晰にえぐり出す「ヒトのベルの不等式」を定式化して実験で示せればいいのでしょうが（もっとも、ヒトの考えることは同じなので、やろうとしているヒトはいるはず。要はアイデアと実験をやりきる力）。

追記2：特別講義は非常に面白いものでした。ただ、「実在性」といわれてピンとくる学生さんでないと、なかなか難しい面もありました。話はEPR（Einstein-Podorsky-Rosen）の論文から始まるのですが、そこで定義される「実在性」の定義がツッコミどころ満載のもの。ただ、学生むけなので、私があまり質問するのも気がひけるので極力スルー。そして、古典的な素朴実在論は否定され、量子論という局所（＝因果律）理論で現象が記述出来ることをベルの不等式が破れることで一網打尽に示し、残りは最近の研究の紹介。数式もほとんどなく（北里では量子も統計力学も選択科目という事情に配慮されてのものでしょうが、最後に「線形代数はやってますか？」という質問が出たことにショックを受けている学生さんも）、わかりやすく話していただきました。ただ、古典的な素朴な実在論は否定されても、「状態、物理量は、それを準備・観測する実験装置まで含めれば実在だ」と答えていただいた（私の誤解でなければ）ので、実在性を否定したわけではない。

理想測定について講義後に質問させていただいたのですが、シュテルン・ゲルラッハの実験のような磁場が非常に強く、観測誤差が小さい実験のことであると教えていただきました。詳しくはPhysics Report(2005)にFAQがあるとのことなので、時間が出来たら勉強してみたいと思います。

ライアーゲーム＠北里祭

平成24年11月3，4日の北里祭で実施した「シミュレーション　ライアーゲーム」が無事に終了しました。

3日の土曜日は6ゲーム、4日の日曜日は10ゲームで100名弱の一般の方の参加がありました。土曜日はなかなかお客さんが集まらず心配したのですが、日曜日は朝11時前から午後4時までフル稼働でゲームを実施できたようでなによりです。私の娘も2回参戦し、1回勝てたのがうれしかったようです。私も一度参戦しましたが、これは難しい。必勝法もなく単にランダムに選択し、負けたという感じでした。


一方、社会物理実験として行った二択のクイズのほうは、システムの不備などがあり、十数名しか参加できなかったのが残念です。

ゲームを盛り上げてくれたＰＨＹＳＩＣＳ部のみなさん、また司会で活躍してくれた石田君、長洲君、ありがとうございました。入江君も初めてデータがとれたのはなによりです。 近いうちに「夢庵」で打ち上げをしましょう。11月26日（月）午後7時あたりでしょうでしょうか？（もっと近い日程てもいいですが。）

来年の学祭もＰＨＹSICS部とコラボできるならぜひお願いします新たなゲームを考えて、今年以上の人を集められるようにしたいと思います。また、社会物理実験も心理学的な面を加味して、パワーアップをはかりたいと思います。

ゲームで得たデータから何か面白いことが分かるかどうかは分かりませんが、このゲームで得たデータは世界にここしかない貴重なものなので、それが得られたことはうれしいです。もし興味があれば、石田君の卒論発表を楽しみにしてください。もちろん、個人的にききに来てくれてもいいです。

ありがとうございました。