理性の限界

「私は嘘つきだ」という自己言及のパラドックス。この発言は「真」なのか「偽」なのか？この発言が「真」なら、発言者は嘘つきになり、発言が「真」であることはない。「偽」なら、「嘘つきではない」ことになり、正直者なので発言は「真」となって矛盾する。では、この発言をどう扱うのか？私は、「嘘つきといってもいつも嘘をつくことはないので、この発言は真であっても矛盾はない」という常識で対処すればパラドックスではない、と考えますが、論理学者は違うようです。「決定不可能命題」と呼んで、真剣にその矛盾の由来を考えている。

「抜き打ちテスト」のパラドックス。教授が「１.明日か明後日に試験する。2.学生は事前に試験がいつ行われるか予測できない。」と掲示し、学生がどう対処するかという問題。「明日試験がなかったなら」、１から明後日しか試験はできないけれど、すると２の予測不可能性に反する。よって「明後日は不可能で、明日しか試験はできない」と予測できることになるが、これも２に反する。結論は、１、２を満たすことは不可能となり、パラドックスである。

これも、常識的に考えると、明日試験がなかった時点で明後日試験が行われることは確定するが、それは明日になるまで分からないので、２には反しない。明後日に試験が可能なので、明日試験をやるかどうかも今日の時点で予測はできないので、１、２に何ら問題はない、となると思うのですが、論理学者はやはり真剣に考える。

この本は、第3部でこうしたパラドックスから「ゲーデルの不完全性定理」を紹介し、2番目のパラドックスが「真」か「偽」か決定できない「ゲーデル命題」だということを解説しています。通常の論理の世界は完全で「証明と真理」は同一である。一方、自然数まで含む世界では「不完全性」が成立する。真の命題でも証明不可能なものもある。有名な整数論の未解決問題、例えば「4以上の偶数は、素数の和である」が証明できないのも、数学者の努力が足りないからではなく、真か偽か決定できない「ゲーデル命題」だからかもしれないわけです。

抜き打ちテストのパラドックスは相互言及のパラドックスであり、「君は私が嘘つきだと信じる」という命題と同じ構造である。この命題は「私は嘘つきだ」という自己言及のパラドックスの命題とは「君と私」＋「信じる」の2点で異なります。「君」がこの命題を信じると偽になり、信じないと真になる。この相互言及のパラドックスもゲーデル命題であり、人間の論理的な思考にはこうした不完全性が必ず入りこんでしまう。さらに、神様がこの世にいるとしても、それが全知全能ですべての命題の真偽を知ることは、ゲーデルの不完全性定理に反するので、神の存在は人間の論理を超越した存在でなければならない。

第一部、第二部は私的にはイマイチでしたが、討論形式で分かりやすいです。第3部は分からない部分もあるのですが、神様の存在まで議論する展開が面白い。ゲーデルの不完全性定理も勉強してみたくなりました。オススメです。

Rで一次元セルオートマトン

渋滞学の西成氏を理学特別講義に呼んだとき、彼の扱ったセルオートマトンの話の学生さんの受けが非常によかったので、１年生むけの演習を担当するときに「セルオートマトン」を取り上げています。Wikipediaでざっと眺めてから、今年はWolframの論文Cellular Automata as Simple Self-Organizing Systems (1982)を読んでいるのですが、さすがに１次元セルオートマトンでも黒板やノートでその時間変化を追うのは結構つらい。といって、いきなりＣでプログラムを書かせるわけにもいかないし、また書かせたとしても、それをどこで実行するのかという問題もある。大学に来ないとできない、ではなく、自分のパソコンで簡単に実行できるのが望ましい。（この演習なるものが、学生さんが自分で実験、研究をし、それをプレゼンするというのが目標なので。そうじゃないなら、論文読んで「ハイおしまい」で楽なのですが。）

そこで、Rで一次元セルオートマトンのプログラムを作成してみました。いろいろ他のサイトで情報を探したのですが、研究レベルのものしか見つからなかったので。まだ、RやRでの関数の作成に不慣れなのですが、なんとかルール９０でシェルピンスキーギャスケットの描画には成功。あとは、学生さんたちが自分でルールをいろいろいじれるように改良しないと。（ちなみに、今回作成したファイルは次のInitial_1.R、rule_90.R、T_step_90.Rの３つ。）

3年生むけの数値計算演習もRでやるので、そのいい勉強にもなりました。（というレベルで教えるほうも教えるほうですが。）

統計と確率の基礎

著者は東北大学の服部哲弥先生。数理統計学に関するテキストです。なぜ、この本を読もうと思ったのかは忘れてしまったのですが、アマゾンのランキングや２chでのスレッドの順位の時間変化に関する仕事を検索で見つけて、その流れで買ってみたような記憶があります。基研での確率モデルの研究会で彼の「くりこみ」に関する講演をきいたのですが「結構すごい」と思った記憶も後押ししました。

内容ですが、結構つらいです。難しい。２００９年度の大学院の講義でテキストに指定し、そのあと卒論のゼミで続きを扱ったのですが、章末にまわされている証明や計算を負うのは結構大変です。卒論の学生さんたちもグッタリした様子だったので、結局その年には最後まで到達できず。ただ、内容は学生さんには受けがいいみたいで、窓口での並列並び、直列並びの待ち時間の分散、宮城沖地震の予測などのトピックには興味を持ったみたいです。と、前半は興味深いトピックを散りばめながら、基礎的なことを明晰かつ問題意識を明確に展開してある。（ちなみに、院生の一人が神奈川県の地震予測をやったら、恐ろしい結果になりました。）

この本の面白いところは後半です。ベイズ統計、検定、尤度、いろいろ言葉は知っていても、これまでちゃんと統計学を学んだことがなかったので、理解したというレベルではなかったのですが、この本の後半を読むと、いろいろ疑問に思うことに、その疑問を明確にしながら答えてくれる。例えば、検定での棄却域は、第2種の誤りを最小にするように選ぶということをベイズの立場で解釈し、さらに、ワルドの期待効用の理論での解釈も紹介（このあたりは、はしょりすぎでよく分かりませんでしたが）。そして、「・・・合理的意思決定を支援する学問としての統計学という観点から、確率論にもとづく統計学の数学的結論をどのように提供すれば正しく利用してもらえるか、使いやすいか、その問い直しが２０世紀後半の数理統計学の歴史の一面にある気がする。・・・その他あらゆる統計学理論に、わかりやすさと誤解の危険がそれぞれあるともいえる。」

統計学は難しい。その難しさを分かりやすく解説してくれるいい本だと思います。が、最初にこの本を読むのは辛いでしょう。やさしい本で学んで、さらに勉強したい場合にはいいと思います。

ケンブリッジの卵

大学4年の卒業研究で神部先生の流体力学の研究室を選択しました。当時（１９９０年ごろ）の理学部物理学科は夏学期と冬学期で理論と実験などの２研究室でゼミや実験をやるというものでした。素粒子論の研究室にするかどうかで迷ったのですが、いろいろ考えて流体力学の研究室にしました。その神部研究室で助手をされていたのが、本書の著者の下村先生。いっしょにカオスの本を読んでいただいた記憶があります。学会誌でこの本のことを知ったとき、そうした縁もあり、また内容も楽しそうなので、読んでみました。

内容はサブタイトルの「回る卵はなぜ立ち上がりジャンプするのか」を6年にも渡って研究してきた過程が記されています。よくもここまで細かな点まで覚えているなと感心するぐらい詳細に研究の過程が綴られています。これだけ研究がうまくいっているのを読まされると、面白い本だとは思うのですが、うらやましくもなります。私も競馬研究で2本目の論文をまとめているところですが、ネイチャーはおろかPRLでも無理でしょう。努力が足りないのか。

しかし、慶応は2年間のサバティカルで海外に出られるのは羨ましい限り。私のいる大学は、大学の研究費で海外に出ることも禁止なのに。（これは愚痴です。研究費そのものは結構あるのに、理論屋には使い途がない。）

Ubuntu Linux 10.04LTS

Ubuntu Linux の最新版10.04LTSがでたようです。LTSは、長期サポート(Long-term Support)のこと。記事によれば「通常版が半年に1度のリリースであるのに対し、LTS版は2年に1度の頻度でリリースされる」とのことです。

仕事で使うパソコンは、研究用はLinux、事務関係はWindows(XP&7)で、研究用のLinuxをVine LinuxからUbuntu Linux(9.10)に移行しつつありました。今回の最新版10.04TLSもさっそくインストールしてみたのですが、完成度は非常に高いです。

SSDに換装していらい、プチフリでイライラさせられてたノートPC（Vaio Type-G）も、Vine やUbuntu Linuxだと、プチフリもまれで快調だったのですが、SkypeもUbuntu9.10から普通に使えるようになったので、今回Windowsを完全に削除して、Linuxマシンに変身。Windowsだと1分近くかかったサスペンドも復帰も数秒、OSの機動も高速と、Windows XP 時代とは見違えるマシンになりました。

問題はPower Pointが使えなくなることで、学会でのプレゼンのときにどうするかを考える必要があります。Open Office3.2がどの程度使えるのかがまだ分かりませんが、試した範囲では別のPCで作成したPPTを表示させるぐらいなら問題はなさそうです。（学会専用にType Xや宣伝中のVaio New Ultra Mobileを買うこともありですが。）

なにより、デュアルブートをやめて、メンテの対象が減るのがうれしい。Windowsはもう必要がないですね。もっとも、HTML5（やiPad）の時代に、PCのOSがどうのこうのというのも時代錯誤なのでしょうが。