情報カスケードの実験

1月18日（水）に情報カスケードの古典的な実験の追試を行いました。もともとの実験はウェルチのアイデアをもとにアンダーソンが3個の玉が入った二種類の壺Ｒ，Ｂを用意し、そのうちの一つをランダムに選ぶ。二種類の壺の違いは、壺Ｒには赤玉が二個、青玉が一個、逆に壺Ｂには青玉が1個、赤玉が一個入っていること。被験者はランダムに選ばれた壺から玉を一個取り出してその色を確認して壺に戻す。その玉の色の情報と、自分より前に選択した被験者の情報をもとに、その壺がＲかＢかをあてるというもの。他の被験者の情報がない場合、この問題は簡単で赤玉なら壺Ｒ，青玉なた壺Ｂと答えるのが賢明。確率3分の2で正しい結論に到達します。では、他の被験者の回答の情報が分かる場合にはどう選択するのがよいのか？

実験のポイントは、被験者は自分より前に回答した他の被験者の選択結果の情報を得ることができても、実際に玉の色については知りえないこと。もし玉の色が分かるなら、これも話は簡単で、自分の玉も含めて、赤玉、青玉の数の多いほうを選択すればよい。十分大勢の人が自分より前に回答していてくれれば、確率100％で正しい結論に達することができます。しかし、実験では他の回答者の回答は分かっても、その回答者のひいた玉の色は分からない。このとき、回答と玉の色は必ずしも一致しなくなるので、問題が複雑になります。

例えば自分より前二人がたまたま青の玉を取り出して壺Ｂと回答したとき、自分では赤玉を取り出して壺Ｒっぽいと思っても、前二人の選択によって自分の玉の情報（赤）を捨て、壺Ｂを選択することがあるからです。ということは、本当は壺はＲなのに、たまたま青玉が2回出ただけで、3番目以降の人が赤玉を取りだし続けても、ずっと壺Ｂを選択し続けることが起きうる。このように、各自の情報を捨て去り、ある選択肢がずっと続くことをカスケードといい、特に誤った選択肢が続く場合は逆カスケード(Reverse Cascade)と呼んだりもします。

アンダーソンの実験は6人の被験者を並べて、実際の壺でやったそうです。その後、多くの追試（最大40人規模）が行われているのですが、その追試をＷＥＢベースのシステムを開発してやってみました。被験者の数は33人。ＷＥＢベースの実験サーバーを用意し、被験者はブラウザから壺を選択する。33人に対応し33個の壺をＲかＢか最初に設定する。そして、1番から33番まで順番に回答する。ただし、最初は1番目の回答者、2回目は2番目の回答者という感じで、順番はひとつづつずらす。また、玉の比率は２：１、５：４、８：７の3パターンで行う。回答者に与える情報は、自分が引いた玉の色の情報と、自分より前に回答した人のうち、何人が壷R、何人が壷Bかといった情報。これを2時間で2回やる予定だったのですが、サーバーのレスポンスが極端に遅くなり、個々のパターンの実験を行うのに30分近くかかったため、1回やるのが精いっぱいでした。４，５人でリハーサルしたときはスムースに進行し、１パターン10分と見積もったのですが、甘かったようです。また、別の場合を調べたかったのですが、その途中でサーバーエラーとなり、実験中止。結局、壺の比率3パターンに対し、３３サンプル得るのがやっと。将来的には50名程度でこの実験を行いたいので、システム設計を再考する必要があるみたいです。（単に、前の人が回答を終えていないと次のひとが回答できず、その回答リクエストがサーバーに集中するのが原因だとは分かるのですが、回答の早い遅いで回答の順番に偏りが出ないようにするのはどうすればいいのかが問題。）

実験結果については、情報カスケードも含め、おいおい紹介したいと思います。

最後になりましたが、実験を手伝ってくれた入江君、岸君、杉本さん、ありがとうございました。また、被験者として参加してくれた物理学科の学生のみなさま、ありがとうございました。

社会物理学の展望

1月7日（土）、統計数理研究所において「社会物理学の展望」という研究会がひらかれ、参加してきました。小田垣先生が主催の研究会で、朝10時から30分の講演が７件と最後に「社会物理学のこれから」についての雑談のようなもの。

石崎龍二（福岡県立大） 「外国為替レートの変動とパターン・エントロピー」 
佐藤彰洋（京大情報）　「ホテル予約サイトデータの統計分析：EMアルゴリズムによる予約傾向分類」
守真太郎（北里大）　　「ヒトはいかに情報をコピーするのか？」 

藤江遼（東大）　　　　「コンセンサス問題における多種共存の安定性」
田中美栄子（鳥取大）　「損をする籤を選んでしまう理由：プロスペクト理論の解釈について」　
松下貢（中央大）　　　「現代社会の豊かさとは－社会物理学の視点より
前野義晴（日本電気(株））「ネットワークゆらぎとパンデミック・リスク」

松下先生は、社会物理の対象のバルク部分が対数正規にしたがうことがベースだという話。楽しめたのは、富の分布が昔と比較して10万ドルを境に対数正規分布から不連続にジャンプし、また一番所得の低い部分の比率が顕著に増加したこと。普通は、高所得の部分で対数正規からべき分布に変化するのですが、最近はべきではなく不連続というの興味深い。（アメリカの経営者や金融関連の人がもらいすぎなのでしょう。）これが最近の格差社会の証拠だとのこと。前野氏のは、パンデミックの時系列データからネットワーク構造を推定する話で、これも楽しめました。パンデミックの場合はSIRモデルでダイナミックスを仮定すれば、感染者の数のデータに合うようにモデルを作れるみたいです。

藤江氏は、言語の競争のアブラ厶・ストロガッツのネイチャーに出た論文のモデルを2言語から3言語に拡張し、相図を求める話。 佐藤さんは、ホテルの前日の予約可能状況から、ホテルの部屋の需要・供給の様子をモデル化する話。ポアッソンでモデル化。石崎先生は、睡眠の深さを脳波のゆらぎのパターンから計算するアルゴリズムを為替市場に応用し、パターンエントロピーの変化と市場の動向に相関があるという内容。田中先生のはプロスペクト理論で、人の選択での非合理性を説明する話のレビューだったのですが、途中で混乱。カーネマンが効用関数、主観確率を仮定して説明したものらしいです。高橋先生に教えてもらったことを思いだしました。

ちなにに、私は論文に書いたことのうち、情報のコピーの部分だけを話しました。回答を知らない場合確率50％で回答するというのは、選択肢にはバイアスがある場合があるから必ずしも正しくはないのでは、という批判。あと、コピーがTanhになる理由に関して、Tanhを仮定しなくても相転移するのか、実験の状況、クイズの内容、アンケートで答えを知っているかどうか確認できないのか、などの質問が出ました。

討論では、社会物理の方向性について議論されました。私の要望は、ミクロな実験事実をもっと積み上げてサイエンスにすること。同じ意見が若い方から出ていたのは心強い。社会現象には再現性がないから説明できればいいとか、悲しい意見もありましたが、そういうことは物理の対象ではない。佐藤さんのいう、データのアーカイブは統数研あたりで作ってほしいものです。

この研究会を最後に、来年度の夏まではなにもなし。しばらくは研究に専念できそうです。

あけましておめでとうございます

ここのところブログの更新がまったくありませんでした。11月に3件書いたあとは皆無で、その前は7月の3件。この原因が情報カスケードの投票実験の論文。昨年の元旦のブログでも書きましたが、2010年の10月に行った実験のデータ解析と、その追試で2011年は終わってしまった。で、出来上がった論文が「Phase transition to two-peaks phase in an information cascade voting experiment」。

アーカイブへの投稿は12月13日ですが、最初の原稿は11月中旬に完成し、その時点でのタイトルは」「Two types of Phase Transtion in an information cascade voting experiment 」。ヒトの協同現象での相転移を実験でカッチリ示せたものだという自信もあり、サイエンスのレポートに投稿したのが11月16日。しかし、11月28日にエディターから「より専門的な雑誌に投稿したほうがいいでしょう」というメールが来てアウト。そこで、今度は物理の雑誌でNo.1のPRL(Physical Review Letter)に投稿したのが12月14日。サイエンスと違って、物理の人ならこの仕事の価値が分かるかと思っていたら、翌12月15日にリジェクト。まさに「瞬殺（By H氏）」でした。しょうがないので、Physical Review Eのレターセクション(Rapid Communication)に同じ原稿をまわしてもらい、エディターに、「内容には自信があるから、PRLで蹴られたけれど見てくれ」と書いて投稿（12月16日）。12月23日にエディターから「レフェリーにまわした」という返信をもらって、ようやく専門家の意見が聞ける状況になりました。

競馬論文1と同じく前途多難な論文になりそうですが、内容には自信を持っているので、レフェリーのコメントが楽しみです。今年は、この論文で分かったことをベースに、ヒトの情報のコピーのミクロとマクロについて理解を深めたいと思っています。

昨年は大変お世話になりました。今年もよろしくお願いします。

Gutenberg=Richter則

11月17，18の二日間、新潟大学の家富先生に経済物理学入門の講義を聴講。同僚の猿渡先生が、理物（東大理学部物理学科）の同期だということで、お願いして実現したもの。4年生の理学特別講義なのですが、統計物理が必修でないことなどを事前に猿渡先生が連絡していたようで、難しい数式もほとんどなく、娘さんの写真も含め、登場人物の写真が多数使われた目に優しい内容でした。確率の把握の難しさとしてMonty Hall問題から始まり、ブラウン運動、対数正規分布と株価変化、岩石破壊での破片や富の分布、地震エネルギー分布のべき乗則。そして、最後はネットワークの話で、ネットワーク科学の基礎的な解説、可視化、そして最後に企業間の取引ネットワーク構造の研究の話。興味深く、多岐にわたる内容で、学生さんにもよかったと思います。（家富先生、ありがとうございました。）



で、ここからが本題。課題として、地震の頻度分布のデータから、エネルギー分布がべき乗則に従うというGutenberg-Richter則が成り立っていることを示せというものが出されました。図が、ｘ軸をマグニチュードＭ、ｙ軸に地震の頻度（赤印）をプロットしたもの。べき則則でフィットする場合、ある大きさ以上の頻度という累積を使うほうがよいので、それも描（緑印）いています。グラフを見ても、累積にしないと地震規模の大きな端の部分は頻度が小さく、頻度分布のグラフはばらつく。一方、累積のほうは、ある規模以上の地震の数なので、そのばらつきが抑えられる。で、１０のb乗に比例するとして、フィットした結果が直線で描かれています。このフィットで問題になるのが、どこをフィットするのかということ。図ではMが５以上、６以上、７以上でフィットしています。すると、６以上と７以上だとｂの値がほぼ１で大体等しくなっているので、ｂは１と結論するわけです。

経済物理などの本に限らず、物理で社会現象を説明する本によくあるのがこの手のべき乗則の話。べき乗則に従うから、一見複雑に見える現象でもその本質は単純な物理法則で説明できるとか書いてある。じゃ、本当にべき乗則なのですか、と真剣に調べたのがニューマン:SIAM Review 51, 661-703 (2009)。例えば、上であげた富、地震の規模のほかに戦争の規模、インターネットの接続数、言葉の出現頻度など、ありとあらゆるデータに対し、べき乗則だとしたときのｐ値や、指数分布や対数正規分布などとどっちがよくデータに合うのかという比較を行ったものです。


すると、ほとんどのデータは「べき乗則とはいえない」という結論になる。上記の論文のp27にｐ値の表があって、それを見ると「地震は０」「富も０」。こんなプアなフィット（図の直線のフィット結果）が実現することはないから、べき乗則ではない。唯一、言葉の出現頻度はべき乗則で、地震や富はカットオフのあるべき乗則（つまり、あまり大きなところはべき乗則ではない）が妥当。他の多くのデータも、べき乗則に従っているといってもしいし、他の分布に従っているといってもいい微妙なものである、と。

In particular, the distributions for the HTTP connections, earthquakes, web links, fires, wealth, web hits, and the metabolic network cannot plausibly be considered to follow a power law; the probability of getting by chance a fit as poor as the one observed is very small in each of these cases and one would have to be unreasonably optimistic to see power-law behavior in any of these data sets.(p.23)

There is only one case -- the distribution of the frequencies of occurrence of words in English text -- in which the power law appears to be truly convincing, in the sense that it is an excellent fit to the data and none of the alternatives carries any weight.(p.26)

べき乗則に従うと厳密に主張できる系はほとんどない。一方、べき乗則に従うモデルはいくらでも作れる。こういう状況でべき乗則をもとに説得力のある議論ができるとは思えない、とＨ氏ならいいそうです。

クラスター代数？

11月19日（土）に行われた第14回数理物理・物性基礎論セミナーは「クラスター代数」というものの入門的な講義とその差分方程式への応用でした。講師は千葉大数学の井上玲氏。クラスター代数なるものを耳にするのも初めてでしたが、アブストラクトに面白そうなこと（曲面の分割に使える）が書いてあったので聴講してきました。場所はお茶大理学部。

午後3時からスタートし、最初の1時間半はクラスター代数の定義と、基本的な性質。そして差分方程式との関係。後半は数論で現れるSomos4と呼ばれる差分方程式からＴシステム、Ｙシステムへのクラスター代数の応用。講義の最初に、クラスター代数は定義が大変という説明があり、身構えたのですが、井上氏の解説は分かりやすい。まず、辺に正の整数の重みのある矢印のついたグラフを考える。これを quiverと呼ぶ。（図の矢印の個数で重みを表す。）そして、グラフの頂点にクラスター変数をのせる。このquiver Qとクラスター変数Xi のペア(Q,Xi)に対し突然変異mutationさせて次々とクラスター変数を代数的な関係式で変形を行う。そうして得られるクラスター変数の変形されたもの全体で出来上がった代数をクラスター代数と呼ぶ。突然変異は、頂点を一個選び、そこに入る辺の矢印を逆にしたり、入る辺、出る辺の端を結ぶ新たな辺を追加といったようなもの。こうした定義を行うと無限個の生成元をもつどうしようもない代数の出来上がりになる気がしますが、突然変異の関係式をうまく選び、クラスター代数はきれいになるようにうまくできている。例えば、クラスター代数の元はローラン多項式になる(分母がきれい)とか、有限生成になるのは、quiverがディンキン図の場合(mutation同値)であるとか。

このクラスター代数を使うと、整数論で知られる問題の別証を与えられる。例えば、図に示したSomos４と呼ばれる差分方程式を考えた場合、x0からx3まで１でx4以降を計算すると、それらは有理数ではなくすべて整数であることが知られている。その証明は1980年代に与えられていたらしいのですが、クラスター代数では4頂点のquiverを考え、1，2，3，4と順番に突然変異させていくと、クラスター変数の差分方程式が得られる。それがSomos4に一致し、クラスター代数の性質から整数になることが分かる。

このクラスター代数を使い、B.KellerがＹシステムという差分方程式の解の周期性を証明。それをベースに、Ｔシステムの周期性を証明したのが井上さんたち(IIKNS2008)。それには、クラスター代数の上の圏、クラスターカテゴリーも使う必要があるとか。恐ろしい。私には何が偉いのかよく分かりませんでしたが、クラスター代数自体は結構面白いと思いました。現在の自分の研究にはまったく関係ありませんが、いい気分転換になりました。井上さんの講義も力が抜けていて、私も見習いたいものです。

エコポッド

自宅でコーヒーを飲むときは、豆から自動で淹れてくれるパナソニックのNCーA55Pを１年以上前からつかっていて、カフェで飲むのと大差ないコーヒーを楽しむことができて重宝しています。デザインはあまり好みではないので、冷蔵庫の上の奥のあまり目につかない場所におかれた日陰の存在なのですが、毎日使っていて、豆の粉が微妙に飛び散る以外は不満はありません。パンチのきいたのを飲みたければ水を減らせばよい、といった調整も簡単。

研究室では、インスタントとか、ドリップとかいろいろ試したのですが、なかなか落ち着かない。インスタントは、豆からのコーヒーとは別物で、それはそれでいいのですが、毎回だと味気ない。ドリップは、一日2回ぐらいの頻度だと、豆をひいてからのタイムラグが長くなり、どうも劣化がきになる。で、たまたま秋田氏のWEBページに紹介されていた、UCCのエコポッドというのを試しに買ってみました。秋田氏のデザインに興味があったという理由もありますが、研究室でもコーヒーを楽しみたいのがメインです。

エコポッドは、1回分のコーヒー（など）をポッドにつめたものを、専用のマシンで淹れるシステムで、普通のコーヒーなら10回分で400円、高いもので600円でネスプレッソの半額程度。値段はいいと思います。とりあえず、写真のマシンと10回分のコーヒーのついた5000円弱のセットに、キリマンジャロやブルーマウンテンブレンドを追加して買ってみました。

1週間ほど試した結論は、インスタントよりマシ、でも薄くてパンチがなくブルックスと同じかちょい上ぐらいのレベル。淹れる量は、マニュアルで調整する機能もあるのですが、180CCのところを適当に減らしてもあまり変わらない。マックのコーヒーのようにアメリカンでいいのならいいのでしょうが、私には物足りない。ただ、淹れた瞬間は、まあまあ香りもあり楽しめるので、せっかく買ったことだししばらく使ってみます。コーヒー以外にも、緑茶、ウーロン茶、紅茶のポッドもあるみたいだし。

お台場合衆国２０１１

先日の火曜日にフジがやっているお台場合衆国のサウザンドサニー号を見にいってきました。朝8時に出発し、お台場についたのが10時15分前ぐらい。10時開場のようですが、平日にも関わらず結構（サンサン合衆国の）ゲートの前に人が待っていました。まずは、日本科学未来館のプラネタリウムの「Birthday」の予約をとるためにそちらにむかうと、こちらも5分前ですでに100人ぐらいの列。さすがに平日とはいえ、夏休みなのでこんなものなのでしょう。

プラネタリウムは120名のキャパで、先着順に好きなプログラムの予約をとるのですが、あと14名のところで私の家族は11時の開演の初回の予約を取ることができました。それからしらばく、通常展示を見学し、深海6500とか、スーパーカミオカンデのフォトマルとか、日本全国800か所の地震計の（30分遅れの）リアルタイムな様子、空から降ってくる宇宙船の泡箱での軌跡のリアルタイム観測などを楽しみました。説明の方もいて、結構勉強になります。

肝心のプラネタリムのほうは、地球と月、太陽系の出来る過程から始まり、最後は宇宙の銀河の分布が不均一な様子を３Ｄ（赤と青のメガネの簡単版）で見せてくれて、前半は眠かったですが、３Ｄをフルにつかって銀河が飛んでくる様子など楽しめました。小学生の団体も歓声をあげているし、娘も銀河を取ろうと腕を振りまわしているし。ただ、大平氏のメガスターがどんなものか見たかったのですが、３Ｄメガネを外したあとの最後の一瞬だけ。別のプログラムを見る必要があります。

プラネタリウムのあと、お台場合衆国に向かうと、ちょうどＡＫＢの渡り廊下走り隊が歌っていました。サウザンドサニー号に乗るため、1500円のチケットを買い、待ち時間70分といわれ少しひるみましたが、結構行列の流れが速く40分ほどで乗ることができました。もちろん大したことはないのですが、毎朝めざましテレビを見ながら「行きたい、行きたい」といっていた娘は満足した模様。あとは、悪魔の実「ゴムゴムの実」のお菓子を買い、ゴムゴムのソフトクリームを買っておしまい。どちらも私は食べていないのですが、娘はソフトは完食しましたが、ゴムゴムの実は一個食べてそれから手を出さないので、いまいちなようです。

また、未来科学館に戻り、ＩＢＭのワトソンや子供むけの実験などを楽しんで、4時には出発。それほど混むこともなく、まあまあ楽しめた一日でした。